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婺源 江永 撰
律度
既得各律之率即可得各律之长律冇倍有正有半凡三十六律用横黍尺百分者纪其尺寸分厘毫丝忽防纎以为后算周径幂积张本纎以下略之
倍律通长
黄钟二尺
大吕一尺八寸八分七厘七毫四丝八忽六防二纎太蔟一尺七寸八分一厘七毫九丝七忽四防三纎夹钟一尺六寸八分一厘七毫九丝二忽八防三纎姑洗一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纎
仲吕一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纎
蕤賔一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纎林钟一尺三寸三分四厘八毫三丝九忽八防五纎夷则一尺二寸五分九厘九毫二丝一忽○四纎南吕一尺一寸八分九厘二毫○七忽一防一纎无射一尺一寸二分二厘四毫六丝二忽○四纎应钟一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎
已上诸倍律如欲以次求之则以本律通长为实以十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之得次律
正律通长
黄钟一尺
大吕九寸四分三厘八毫七丝四忽三防一纎
太蔟八寸九分○八毫九丝八忽七防一纎
夹钟八寸四分○八毫九丝六忽四防一纎
姑洗七寸九分三厘七毫○○五防二纎
仲吕七寸四分九厘一毫五丝三忽五防三纎
蕤賔七寸○七厘一毫○六忽七防八纎
林钟六寸六分七厘四毫一丝九忽九防二纎
夷则六寸二分九厘九毫六丝【○】五防二纎
南吕五寸九分四厘六毫○三忽五防五纎
无射五寸六分一厘二毫三丝一忽○二纎
应钟五寸二分九厘七毫三丝一忽五防四纎
已上诸正律如欲以次求之则以本律通长为实以十亿乗之以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之得次律
半律通长
黄钟五寸
大吕四寸七分一厘九毫三丝七忽一防五纎
太蔟四寸四分五厘四毫四丝九忽三防五纎
夹钟四寸二分○四毫四丝八忽二防○
姑洗三寸九分六厘八毫五丝二防六纎
仲吕三寸七分四厘五毫七丝六忽七防六纎
蕤賔三寸五分三厘五毫五丝三忽三防九纎
林钟三寸三分三厘七毫○九忽九防六纎
夷则三寸一分四厘九毫八丝○二防六纎
南吕二寸九分七厘三毫○一忽七防七纎
无射二寸八分○六毫一丝五忽五防一纎
应钟二寸六分四厘八毫六丝五忽七防七纎
已上诸半律如欲以次求之则以本律通长为实以十亿乗之以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之得次律【应钟半律以后再如法乘除得二寸五分为黄钟半律之半】
斜黍尺九寸每寸十分纪其尺寸分厘毫丝忽防纎共二十四律【载堉书止载十二正律今详倍律蕤賔以后半律仲吕以前旋宫皆用之故共二十四律】
倍律长
蕤賔一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二防
林钟一尺二寸○一厘三毫五丝五忽八防六纎夷则一尺一寸三分三厘九毫二丝八忽九防四纎南吕一尺○七分○二毫八丝六忽四防
无射一尺○一分○二毫一丝五忽八防四纎
应钟九寸五分三厘五毫一丝六忽七防八纎
已上诸倍律如欲以次求之则以本律为实以五亿乘之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之得次律
正律长【附旧律备考】
黄钟九寸【旧同】
大吕八寸四分九厘四毫八丝六忽八防八纎【旧八寸四分二厘八毫弱】
太蔟八寸○一厘八毫○八忽八防四纎【旧八寸】
夹钟七寸五分六厘八毫○六忽七防七纎【旧七寸四分九厘二毫弱】
姑洗七寸一分四厘三毫三丝○四防七纎【旧七寸一分一厘一毫强】
仲吕六寸七分四厘二毫三丝八忽一防八纎【旧六寸六分五厘九毫强】
蕤賔六寸三分六厘三毫九丝六忽一防○【旧六寸三分二厘○毫有竒】
林钟六寸○○六毫七丝七忽九防三纎【旧六寸】
夷则五寸六分六厘九毫六丝四忽四防七纎【旧五寸六分一厘八毫强】
南吕五寸三分五厘一毫四丝三忽二防○【旧五寸三分三厘三毫强】
无射五寸○五厘一毫○七忽九防二纎【旧四寸九分九厘四毫强】应钟四寸七分六厘七毫五丝八忽三防九纎【旧四寸七分四厘○毫强】
已上诸正律如欲以次求之则以本律为实以五亿乗之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之得次律
半律长【附旧律备考】
黄钟四寸五分【旧同】
大吕四寸二分四厘七毫四丝三忽四防四纎【旧四寸二分一厘四毫强】
太蔟四寸○○九毫○四忽四防二纎【旧四寸】
夹钟三寸七分八厘四毫○三忽三防八纎【旧三寸七分四厘六毫弱】
姑洗三寸五分七厘一毫六丝五忽二防三纎【旧三寸五分五厘五毫强】
仲吕三寸三分七厘一毫一丝九忽○九纎【旧三寸三分二厘九毫强】
已上诸半律如欲以次求之则以本律为实以五亿乗之以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之得次律【诸倍律约十为九正律折半半律又折半得之甚易本不须乗除仍载乘除法者欲见句股乘除开方求出应钟之率实为真率诸律相求皆以此为根用全用半无徃不通也】
纵黍八十一分律依新法算【惟算正律】
黄钟八寸一分
大吕七寸六分四厘五毫三丝八忽一防九纎
太蔟七寸二分一厘六毫二丝七忽九防六纎
夹钟六寸八分一厘一毫二丝六忽○九纎
姑洗六寸四分二厘八毫九丝七忽四防二纎
仲吕六寸○六厘八毫一丝四忽三防六纎
蕤賔五寸七分二厘七毫五丝六忽四防九纎
林钟五寸四分○六毫一丝○一防四纎
夷则五寸一分○二毫六丝八忽○二纎
南吕四寸八分一厘六毫二丝八忽八防八纎
无射四寸五分四厘五毫九丝七忽一防二纎
应钟四寸二分九厘○八丝二忽五防五纎
诸律如欲以次求之置本律之率以八十一亿乗之折半退位为实以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之得次律
縦黍八十一分作九寸律依新法算
例曰此法每寸九分每分九厘每厘九毫每毫九丝每丝九忽每忽九防每防九纎皆以九为法故与十不同
黄钟九寸
大吕八寸四分四厘○六丝七忽四防五纎
太蔟八寸○一厘四毫一丝六忽○八纎
夹钟七寸五分一厘○一丝○七防四纎
姑洗七寸一分二厘五毫四丝二忽
仲吕六寸六分六厘一毫一丝六忽八防一纎
蕤賔六寸三分二厘四毫二丝八忽四防七纎
林钟六寸○○四毫八丝四忽二防七纎
夷则五寸六分○二毫一丝四忽七防五纎
南吕五寸三分一厘四毫一丝六忽六防三纎
无射五寸○四厘一毫二丝一忽一防五纎
应钟四寸六分八厘一毫五丝一忽○五纎
黄钟半律四寸四分四厘四毫四丝四忽四防四纎朱载堉曰约十为九主意盖为三分损益而设使归除无不尽数耳夫律吕之理循环无端而杪忽之数归除不尽此自然之理也因其天生自然不须人力穿凿以此算律何善如之歴代算律只欲杪忽除之有尽遂致律吕往而不返此乃颠倒之见非自然之理也是以新法不用三分损益不拘隔八相生然而相生有序循环无端十二律吕一以贯之此盖二千余年之所未有自我圣朝始也非学者所宜尽心焉者乎
按古人算律亦非因杪忽欲除尽遂致律吕往而不返也其根源自宫声八十一徴声五十四商声七十二羽声四十八角声六十四俱是三分损益之数意其数为天生自然遂以此定律吕之长短不知其数仍有毫厘之差也天地之真数潜隠既乆有时而泄故载堉能思得之耳
律体【上】
蔡氏律吕新书曰十二律围径自先汉以前?记竝无明文惟班志云黄钟八百一十分繇此之义起十二律之周径然其説乃是以律之长自乗而因之以十盖配合为説耳未可以为据也惟审度章云一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以千二百黍实其龠谨衡权章则以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也盖十其广之分以为长十一其长之分以为广自然之数也又曰夫律以空围之同故其长短之异可以定声之高下孟康不察乃谓凡律围径不同各以围乘长而得此数者盖未之考也【孟康曰林钟长六寸围六分以围乘长得积三百六十分太蔟长八寸围八分为积六百四十分】
朱载堉曰旧律围径皆同而新律各不同礼记注防曰凡律空围九分月令章句曰围数无増减及隋志安丰王等説皆不足取也故着此论论曰琴瑟不独徽柱之有逺近而?亦有巨细焉笙竽不独管孔之有高低而簧亦有厚薄焉?之巨细若一但以徽柱逺近别之不可也簧之厚薄若一但以管孔高低别之不可也譬诸律管虽有修短之不齐亦有广狭之不等先儒以为长短虽异围径皆同此未达之论也今若不信以竹或笔管制黄钟之律一様二枚截其一枚分作两段全律半律各令一人吹之声必不同合矣此昭然可騐也又制大吕之律一様二枚周径与黄钟同截其一枚分作两段全律半律各令一人吹之则亦不相合而大吕半律乃与黄钟全律相合略差不逺是知所谓半律者皆下全律一律矣大抵管长则气隘隘则虽长而反清管短则气寛寛则虽短而反浊此自然之理先儒未达也要之长短广狭皆有一定之理一定之数在焉置黄钟倍律九而一以为外周用?求句股术得其内周又置倍律四十而一以为内径用句股求?术得其外径盖律管两端形如环田有内外周径焉外周内容之方即内径也内周外射之斜即外径也方圆相容天地之象理数之妙者也黄钟通长八十一分者内周九分是为八十一中之九即约分法九分中之一也若约黄钟八十一分作为九寸则其内周当云一寸旧以九十分为黄钟而云空围九分者误也况又穿凿指为面羃九方分则误益甚矣按载堉此论亦二千年来所未有者也汉志之説孟康之释推其误有数端黄钟约十为九内周当云一寸而云围九分其误一围九分则径不及三分径三分则围不啻九分而云径三分围九分乃径一围三之谬法其误二诸律以长乗者乃是乗黄钟之面幂退位以为本律之面幂非乘其围分也而云以围乗长其误三既乗得本律之面幂再以本律之长乘之乃得本律之积而云以围乗长即得积其误四牵于九六八之数附防天地人其误五刘歆班固孟康虽有此数误然犹曰繇此之义起十二律之周径则十二律各有周径其説犹近是也迨汉末诸儒郑氏蔡氏之説出乃断以为凡律围九分无増减此説遂牢不可破矣夫使围径皆同但以长短别高下则弹琴者惟按徽取声而七?之粗细同散声同可乎不可乎凡圆中容积与方中容积同理试使有方田百亩其方折半则中容必是二十五亩断非五十亩故黄钟半律必杀小其围径截为两段则与蕤賔同其容积非半黄钟矣此理若不抉破后之造律制乐者虽使制得黄钟真律大吕以下皆非其律况未必真得黄钟乎人知黄钟中声之难求不知大吕以下诸
律正未易制黄钟大吕惟人所命若旧説不破何以得真黄钟真大吕哉惟我
圣祖仁皇帝诲谕臣工之学律者特?线与线体与体之比例不同一条正所以破前人围径皆同之谬説也其言加减八倍而后应者借立方体积相去八倍言之若律管容积加减四倍即应也载堉云长短广狭皆有一定之理一定之数此语诚然先儒算学不精格物未至是以前志之犹近是者不能?明后人之立谬説者遂为蔽惑耳
载堉言置黄钟倍律九而一以为外周用?求句股术得其内周此算术仍未精宻后详考订正之算律须求真数不可有毫厘之差也
新书言空围当有九方分非也昔人明言周言围不得以周围为方幂如言方幂则黄钟不得有九方分新法算黄钟面幂九分八厘一毫七丝有竒者横黍尺之分厘毫丝也以斜黍九十分者约之只得八分八厘三毫五丝有竒耳其云围十分三厘八毫径三分四厘六毫者围三径一之谬法也如围十分三厘八毫则径只有三分三厘二毫如径三分四厘六毫则围有十一分零七毫有竒矣又以径自乘为方积四分取三为圆积以求合于九方分此又圆田求积之粗率不可用之以算律管也夫径三分四厘六毫者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故扩其围径以就之当时用上党羊头山黍以三等筛筛之而取其中则黍亦可迁就矣要之黍非真黍律非真律而算亦非真算蔡氏犹仍其误岂古人有宻率载在史志者竟未尝深究耶
周径幂积密率
按平圆周径幂积可互相求旧云周三径一又以方积四分之三为圆积皆疎舛之率不可承用者也欲算各律之外周内周外径内径及空围内之面幂实积须求最宻之率方凖古之算家祖冲之为最其割圆之法用缀术渐次求之得其周径之率攷之隋书律志祖氏原有三率一云径七周二十二者约率也一云径一百一十三周三百五十五者密率也然约率则强宻率犹稍弱仍有最宻之率则径一周三一四一五九二六五是也葢三一四一五九二七为赢限三一四一五九二六为朒限正数在赢朒二限之间末位约之为五三一四一五九二六五共得九位亦可以为算周径之用矣周径相乘得七八五三九八一六二五为平幂或以半径乘半周亦得平幂此最宻之率也试借西人八线表验之
西人分周天为三百六十度一度又析为六十分是分大圆为二万一千六百边也八线各有相当正?与余割相乗与半径全数自乘等积查表一分之余割线三四三七七四六八二因此求得一分之正?二九○八八八二○四五○一以二万一千六百折半为一万○八百乗之得三一四一五九二六○八六一八正?是直线圆周是曲线几与之等而曲者必稍赢是以比圆周稍朒焉故径一则周三一四一五九二六五为最宻之率宜用之
朱载堉宻率法云圆周四十容方九句股求?数可知遂以此为求径率求周求积亦如之谓圆周四十寸者内容方九寸九寸各自乘并得一百六十二寸开方得斜?为圆径也今按此法犹未宻正法圆周三一四一五九二六五内容方七○七一○六七八一葢圆周四十则容方不啻九若容方九则圆周不及四十载堉以此率求诸律周径幂积惟径无差若周幂积四位以后稍有嬴余不得为真数矣数不真确不可载之于书故今依祖氏法推算
先求三十六律通长真数
载堉云黄钟倍律通长二尺容黍二合称重二两律度量衡无非倍者此自然全数也故算法皆从倍律起若夫正律于度虽足于量于衡则皆不足只容半合只重半两比诸倍律似非自然全数故算法不从正律起亦不从半律起倍律正律半律各有十二共为三十六律
按诸律通长已见前篇其以次迭求之法已见第二卷兹不再述
次求三十六律外径内径
按载堉之法先求周今易之先求径六阳律之外内径有与他律通长相应退一位即得者不必求?一位者十分之一也开列如左
蕤賔正律通长退一位即黄钟倍律外径
林钟正律通长退一位即太蔟倍律外径
夷则正律通长退一位即姑洗倍律外径
南吕正律通长退一位即蕤賔倍律外径
无射正律通长退一位即夷则倍律外径
应钟正律通长退一位即无射倍律外径
黄钟半律通长退一位即黄钟倍律内径正律外径大吕半律通长退一位即太蔟倍律内径正律外径太蔟半律通长退一位即姑洗倍律内径正律外径夹钟半律通长退一位即蕤賔倍律内径正律外径姑洗半律通长退一位即夷则倍律内径正律外径仲吕半律通长退一位即无射倍律内径正律外径蕤賔半律通长退一位即黄钟正律内径半律外径林钟半律通长退一位即太蔟正律内径半律外径夷则半律通长退一位即姑洗正律内径半律外径南吕半律通长退一位即蕤賔正律内径半律外径无射半律通长退一位即夷则正律内径半律外径应钟半律通长退一位即无射正律内径半律外径凡倍律内径折半即半律内径
凡六隂吕以阳律之径分为实以十亿乗之以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之即得本吕之径隂吕求阳律亦仿此十亿○二千九百三十万有竒之数者应钟倍律外径五一四六五一一一八三二一七四六○进位倍数也
次求三十六律外周内周
以本律之径乗三一四一五九二六五以十除之得周
如迭求之以本律之周为实以十亿乘之以十亿○二千九百三十万○二千二百三十六除之得次律之周
倍律外周折半即正律内周半律外周
倍律内周正律外周折半即半律内周
次求三十六律面幂
以本律之周径相乘为实以四归之或以半周半径相乗皆得面幂
如迭求之以本律之面幂为实以十亿乘之以十亿○五千九百四十六万三千○九十四除之得次律之面幂
倍律面幂折半即正律之面幂正律面幂折半即半律之面幂
置七八五三九八一六二五以四除之得倍律黄钟面幂各以正律通长乘之得各倍律之面幂
置七八五三九八一六二五以八除之得正律黄钟面幂各以倍律面幂折半得各正律之面幂
置七八五三九八一六二五以一十六除之得半律黄钟面幂各以正律面幂折半得各半律之面幂
次求三十六律实积
各律以通长乘本律面幂再以通长乘所得即本律实积
如欲以次求之置本律实积为实以十兆乗之以十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八除之得次律实积
倍律实积四归之得正律实积正律实积四归之得半律实积
黄钟倍律面幂进一位即蕤賔倍律之实积倍之即黄钟倍律之实积
太蔟倍律面幂进一位即林钟倍律之实积倍之即大吕倍律之实积
姑洗倍律面幂进一位即夷则倍律之实积倍之即太蔟倍律之实积
蕤賔倍律面幂进一位即南吕倍律之实积倍之即夹钟倍律之实积
夷则倍律面幂进一位即无射倍律之实积倍之即姑洗倍律之实积
无射倍律面幂进一位即应钟倍律之实积倍之即仲吕倍律之实积
黄钟正律面幂进一位即黄钟正律之实积半之即蕤賔正律之实积
太蔟正律面幂进一位即大吕正律之实积半之即林钟正律之实积
姑洗正律面幂进一位即太蔟正律之实积半之即夷则正律之实积
蕤賔正律面幂进一位即夹钟正律之实积半之即南吕正律之实积
夷则正律面幂进一位即姑洗正律之实积半之即无射正律之实积
无射正律面幂进一位即仲吕正律之实积半之即应钟正律之实积
已上诸律有相应处可见一气贯通之妙载堉未言今推之如此学者宜深玩之
律管长短广狭自然之理数河图已显其象象数篇详之